הוכחה שסדרה הנדסית וסכוםסדרות 571 · שיעור 15
סדרות · שאלון 571
שיעור 15: הוכחה שסדרה הנדסית וסכום
פרק 4 – סדרה הנדסית
1נוסח השאלה
2סעיף א – הוכחה שהסדרה הנדסית
3סעיף ב – הסכום
4סעיף ג – הסדרה עם סימנים מתחלפים
📄 נוסח השאלה
נתונה סדרה המוגדרת לכל n טבעי על ידי הכלל: bn = 2 · 3n − 1.
א. הוכיחו כי הסדרה היא הנדסית ומצאו את מנת הסדרה.
ב. הביעו באמצעות n את הסכום: Sn = 2 + 6 + 18 + ... + 2 · 3n − 1.
ג. מהסדרה הנתונה יוצרים סדרה חדשה, באמצעות שינוי הסימן של האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים. מצאו את הסכום של 36 האיברים הראשונים בסדרה החדשה.
סעיף א – הוכחה שהסדרה הנדסית
סדרה הנדסית: היחס (המנה) בין כל איבר לאיבר שלפניו קבוע. מוכיחים באופן כללי, לכל n:
bn + 1 = 2 · 3(n + 1) − 1 = 2 · 3n
bn + 1bn = 2 · 3n2 · 3n − 1
📐 מנת הסדרה ההנדסית
= 3n − (n − 1) = 31 = 3
📐 חילוק חזקות עם אותו בסיס
המנה היא 3 לכל n – קבועה ולא תלויה ב־n, ולכן הסדרה הנדסית.
✅ פתרון סופי: הסדרה הנדסית, q = 3
📐 מנת הסדרה ההנדסית
q = an + 1an
📐 חילוק חזקות עם אותו בסיס
axay = ax − y
סעיף ב – הסכום
b1 = 2 · 30 = 2 , q = 3:
Sn = 2(3n − 1)3 − 1
📐 סכום בסדרה הנדסית
= 2(3n − 1)2 = 3n − 1
בדיקה: n = 3 : 2 + 6 + 18 = 26 , 33 − 1 = 26 ✓
✅ פתרון סופי: Sn = 3n − 1
📐 סכום בסדרה הנדסית
Sn = a1(qn − 1)q − 1 , q ≠ 1
סעיף ג – הסדרה עם סימנים מתחלפים
הסדרה החדשה: 2 , −6 , 18 , −54 , .... כל איבר מתקבל מהקודם בכפל ב־(−3), ולכן היא הנדסית עם q = −3 (סימנים מתחלפים).
S36 = 2((−3)36 − 1)−3 − 1
📐 סכום בסדרה הנדסית
36 זוגי, לכן (−3)36 = 336:
= 2(336 − 1)−4 = −336 − 12
הסבר: בכל זוג (איבר במקום אי־זוגי + האיבר שאחריו) הסכום שלילי, כי האיבר השלילי גדול פי 3 בערכו. לכן הסכום שלילי.
✅ פתרון סופי: S36 = −336 − 12
📐 סכום בסדרה הנדסית
Sn = a1(qn − 1)q − 1 , q ≠ 1
📌 סיכום התשובות
סעיף א
q = 3
סעיף ב
3n − 1
סעיף ג
−336 − 12
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא